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群论通俗理解（什么是群论？示例、应用）

2024-11-04 10:34:24


群论是数学的一个分支，研究数学对象的对称性和结构。它用于广泛的领域，包括物理、化学、计算机科学和密码学。

群论导论

什么是组？

群是一组元素，连同二元运算（例如加法或乘法），该运算将集合中的任意两个元素组合成第三个元素，该第三个元素也在集合中。据说该组在此操作下是封闭的，这意味着该操作始终会产生集合中的元素。例如，整数集 (…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…) 加法运算形成一个群，非零实数集与乘法运算。

该组还必须有一个标识元素，它是集合中的一个元素，在对其应用二元运算时不会改变任何其他元素。例如，具有加法运算的整数组的单位元是 0，因为 0 + x = x 对于任何整数 x。

集合中的每个元素还必须有一个逆元素，即当使用二元运算与原始元素组合时产生单位元素的元素。例如，整数组中2的逆元素加法运算为-2，即2 + (-2) = 0。

组的例子

群最著名的例子之一是几何对象的对称性，例如正方形或三角形。这些对称性可以被认为是可以在对象上执行的操作（例如旋转或反射），使对象保持不变。给定对象的所有可能对称性的集合在合成操作下形成一个群（一个接一个地执行对称）。

群的另一个例子是给定大小的所有可逆矩阵的集合，具有矩阵乘法运算。这个群被称为一般线性群，在数学和物理学的各个分支中都很重要。

群论的应用

群论在各个领域有着广泛的应用，包括：

  • 在物理学中，群论用于研究物理系统中的对称性，例如晶体的对称性。
  • 在化学中，群论用于研究分子的对称性并预测它们的性质。
  • 在计算机科学中，群论用于算法和复杂性的研究，以及纠错码的构造。
  • 在密码学中，群论被用于设计基于群中解决某些数学问题的难度的加密方案。

群论是一个强大的工具，它使我们能够研究数学对象的对称性和结构，并且在各个领域都有许多重要的应用。这是一个活跃的研究领域，有许多未解决的问题和进一步发现的潜力。


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